Τύπος για τον υπολογισμό του Z-Score
Η βαθμολογία Z των ανεπεξέργαστων δεδομένων αναφέρεται στη βαθμολογία που δημιουργείται μετρώντας πόσες τυπικές αποκλίσεις πάνω ή κάτω από τον μέσο όρο του πληθυσμού είναι τα δεδομένα, τα οποία βοηθούν στον έλεγχο της υπόθεσης υπό εξέταση. Με άλλα λόγια, είναι η απόσταση ενός σημείου δεδομένων από τον μέσο όρο του πληθυσμού που εκφράζεται ως πολλαπλάσιο της τυπικής απόκλισης.
- Οι βαθμολογίες z κυμαίνονται στο εύρος -3 φορές την τυπική απόκλιση (πολύ αριστερά της κανονικής κατανομής) έως +3 φορές την τυπική απόκλιση (ακροδεξιά της κανονικής κατανομής).
- Οι βαθμολογίες z έχουν μέσο όρο 0 και τυπική απόκλιση 1.
Η εξίσωση για τη βαθμολογία z ενός σημείου δεδομένων υπολογίζεται αφαιρώντας τον μέσο όρο πληθυσμού από το σημείο δεδομένων (αναφέρεται ως x ) και στη συνέχεια το αποτέλεσμα διαιρείται με την τυπική απόκλιση πληθυσμού. Μαθηματικά, αντιπροσωπεύεται ως,
Ζ Βαθμολογία = (x - μ) / ơ
που
- x = Σημείο βάσης δεδομένων
- μ = μέσος όρος
- Standard = Τυπική απόκλιση
Υπολογισμός της βαθμολογίας Z (βήμα προς βήμα)
Η εξίσωση για τη βαθμολογία z ενός σημείου δεδομένων μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα βήματα:
- Βήμα 1: Πρώτον, προσδιορίστε τη μέση τιμή του συνόλου δεδομένων με βάση τα σημεία δεδομένων ή τις παρατηρήσεις, οι οποίες υποδηλώνονται με x i , ενώ ο συνολικός αριθμός σημείων δεδομένων στο σύνολο δεδομένων υποδηλώνεται από το Ν.
- Βήμα 2: Στη συνέχεια, προσδιορίστε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού βάσει του μέσου πληθυσμού μ, των σημείων δεδομένων x i και του αριθμού των σημείων δεδομένων στον πληθυσμό Ν.
- Βήμα 3: Τέλος, η βαθμολογία z προκύπτει αφαιρώντας τον μέσο όρο από το σημείο δεδομένων και μετά το αποτέλεσμα διαιρείται με την τυπική απόκλιση, όπως φαίνεται παρακάτω.
Παραδείγματα
Παράδειγμα # 1
Ας πάρουμε το παράδειγμα μιας τάξης 50 μαθητών που έχουν γράψει το επιστημονικό τεστ την περασμένη εβδομάδα. Σήμερα είναι η ημέρα των αποτελεσμάτων και ο δάσκαλος της τάξης μου είπε ότι ο John σημείωσε 93 στο τεστ, ενώ η μέση βαθμολογία της τάξης ήταν 68. Προσδιορίστε τη βαθμολογία z για το σήμα δοκιμής του John εάν η τυπική απόκλιση είναι 13.
Λύση:
Δεδομένος,
- Βαθμολογία δοκιμής John, x = 93
- Μέση τιμή, μ = 68
- Τυπική απόκλιση, ơ = 13
Επομένως, η βαθμολογία z για τη βαθμολογία δοκιμής του John μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο ως,
Ζ = (93 - 68) / 13
Η βαθμολογία Z θα είναι -
Βαθμολογία Z = 1,92
Επομένως, το σκορ του John's Ztest είναι 1,92 τυπική απόκλιση πάνω από το μέσο όρο της τάξης, πράγμα που σημαίνει ότι το 97,26% της τάξης (49 μαθητές) σημείωσε λιγότερα από τον John.
Παράδειγμα # 2
Ας πάρουμε ένα άλλο λεπτομερές παράδειγμα 30 μαθητών (καθώς το z-test δεν είναι κατάλληλο για λιγότερα από 30 σημεία δεδομένων) που εμφανίστηκαν για μια δοκιμή τάξης. Καθορίστε τη βαθμολογία ζ-test για τον 4 ου σπουδαστή βάση τα σήματα που δέχεται από τους μαθητές έξω των 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Λύση:
Δεδομένος,
- x = 65,
- 4 ος μαθητής σημείωσε = 65,
- Αριθμός σημείων δεδομένων, N = 30.
Μέση τιμή = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Μέση τιμή = 71,30
Τώρα, η τυπική απόκλιση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο όπως φαίνεται παρακάτω,
ơ = 13.44
Επομένως, η βαθμολογία Ζ του 4ου μαθητή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο ως,
Z = (x - x) / s
- Ζ = (65 -30) / 13,44
- Ζ = -0,47
Ως εκ τούτου, η 4 ου σκορ σπουδαστή είναι 0.47 τυπική απόκλιση κάτω από τη μέση βαθμολογία της τάξης, πράγμα που σημαίνει ότι 31.92% των τάξης (10 μαθητές) άνοιξε το λιγότερο από το 4 ου μαθητή ως ανά Ζ- πίνακα βαθμολογίας.
Βαθμολογία Z στο Excel (με πρότυπο Excel)
Τώρα, ας πάρουμε την περίπτωση που αναφέρεται στο παράδειγμα 2 για να δείξουμε την έννοια του z-score στο πρότυπο excel παρακάτω.
Παρακάτω δίνονται δεδομένα για τον υπολογισμό του Z Score.
Μπορείτε να ανατρέξετε στο δεδομένο φύλλο excel παρακάτω για τον λεπτομερή υπολογισμό των στατιστικών δοκιμών τύπου Z Score.
Συνάφεια και χρήσεις
Από την οπτική γωνία της δοκιμής υπόθεσης, η βαθμολογία z είναι μια πολύ σημαντική έννοια που πρέπει να κατανοηθεί, επειδή χρησιμοποιείται για να ελέγξει εάν ένα στατιστικό στοιχείο δοκιμής εμπίπτει ή όχι στο αποδεκτό εύρος τιμών. Η βαθμολογία z χρησιμοποιείται επίσης για την τυποποίηση δεδομένων πριν από την ανάλυση, τον υπολογισμό της πιθανότητας βαθμολογίας ή σύγκρισης δύο ή περισσότερων σημείων δεδομένων, τα οποία προέρχονται από διαφορετικές κανονικές κατανομές. Υπάρχει η διαφορετική εφαρμογή της βαθμολογίας z σε όλα τα πεδία εάν εφαρμοστεί σωστά.
