Λειτουργία Totient Eient - Σημασία, παραδείγματα, πώς να υπολογίσετε;

Πίνακας περιεχομένων

Τι είναι η συνάρτηση Totient του Euler;

Η συνάρτηση Eient του Totient είναι οι μαθηματικές πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις που μετρούν τους θετικούς ακέραιους έως τον δεδομένο ακέραιο που ονομάζεται γενικά ως «n» που είναι ένας πρώτος αριθμός στο «n» και η συνάρτηση χρησιμοποιείται για να γνωρίζει τον αριθμό των πρώτων αριθμών που υπάρχουν μέχρι το δεδομένο ακέραιο «n».

Εξήγηση

Για να μάθετε πόσους πρώτους αριθμούς έρχονται στον δεδομένο ακέραιο συντελεστή 'n' Euler Totient Function. Ονομάζεται επίσης αριθμητική συνάρτηση. Για μια εφαρμογή ή χρήση της συνάρτησης Euler του Totient, δύο πράγματα είναι σημαντικά. Το ένα είναι ότι το gcd που σχηματίζεται από τον δεδομένο ακέραιο «n» πρέπει να είναι πολλαπλασιαστικό το ένα στο άλλο, και το άλλο είναι οι αριθμοί του gcd θα πρέπει να είναι μόνο οι πρώτοι αριθμοί. Ο ακέραιος 'n' σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 1. Από έναν αρνητικό ακέραιο, δεν είναι δυνατόν να υπολογιστεί η συνάρτηση Totient του Euler. Η αρχή, σε αυτήν την περίπτωση, είναι ότι για το ϕ (n), οι πολλαπλασιαστές που ονομάζονται m και n πρέπει να είναι μεγαλύτεροι από 1. Ως εκ τούτου δηλώνεται με 1

Ιστορία

Ο Euler εισήγαγε αυτή τη συνάρτηση το 1763. Αρχικά, ο Euler χρησιμοποίησε το ελληνικό π για τη μετονομασία της συνάρτησης, αλλά λόγω ορισμένων ζητημάτων, η μετονομασία του για το ελληνικό π δεν πήρε την αναγνώριση. Και απέτυχε να του δώσει το κατάλληλο σύμβολο σημειογραφίας, δηλαδή Ως εκ τούτου, η συνάρτηση δεν μπορεί να εισαχθεί. Επιπλέον, ϕ ελήφθη από το Gauss's 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Η συνάρτηση ονομάζεται επίσης συνάρτηση phi. Αλλά ο JJ Sylvester, το 1879, συμπεριέλαβε τον όρο totient για αυτή τη συνάρτηση λόγω ιδιοτήτων και των χρήσεων των συναρτήσεων. Οι διαφορετικοί κανόνες πλαισιώνονται για να ασχοληθούν με διαφορετικά είδη ακεραίων που δίδονται όπως εάν ο ακέραιος αριθμός p είναι ένας πρωταρχικός αριθμός, τότε ποιος κανόνας πρέπει να εφαρμοστεί κ.λπ. ίδιο.

Ιδιότητες της συνάρτησης Eient του Totient

Υπάρχουν μερικές από τις διαφορετικές ιδιότητες. Ορισμένες από τις ιδιότητες της συνάρτησης του Euler είναι ως εξής:

  • Φ είναι το σύμβολο που χρησιμοποιείται για να δηλώσει τη συνάρτηση.
  • Η συνάρτηση ασχολείται με τη θεωρία των πρωταρχικών αριθμών.
  • Η συνάρτηση εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση θετικών ακέραιων αριθμών.
  • Για το ϕ (n), υπάρχουν δύο πολλαπλασιαστικοί πρωταρχικοί αριθμοί για τον υπολογισμό της συνάρτησης.
  • Η συνάρτηση είναι μια μαθηματική συνάρτηση και χρήσιμη με πολλούς τρόπους.
  • Εάν ο ακέραιος αριθμός «n» είναι πρωταρχικός αριθμός, τότε gcd (m, n) = 1.
  • Η συνάρτηση λειτουργεί με τον τύπο 1 <m <n όπου m και n είναι οι πρώτοι αριθμοί και πολλαπλασιαστικοί αριθμοί.
  • Σε γενικές γραμμές, η εξίσωση είναι
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Η συνάρτηση μετρά βασικά τον αριθμό των θετικών ακέραιων μικρότερων από τον δεδομένο ακέραιο, που είναι σχετικά πρωταρχικοί αριθμοί στον δεδομένο ακέραιο.
  • Εάν δοθεί ακέραιος αριθμός p είναι πρωταρχικός τότε ϕ (p) = p - 1
  • Εάν η ισχύς του p είναι prime τότε, εάν a = p n είναι prime power τότε prime (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) δεν είναι ένα - ένα
  • Το n (n) δεν είναι.
  • ϕ (n), n> 3 είναι πάντα ομοιόμορφο.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Υπολογίστε τη συνάρτηση Totient του Euler

Παράδειγμα # 1

Υπολογισμός ϕ (7);

Λύση:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Καθώς όλοι οι αριθμοί είναι πρώτοι έως 7, ως εκ τούτου διευκόλυνε τον υπολογισμό του ϕ.

Παράδειγμα # 2

Υπολογισμός ϕ (100);

Λύση:

Δεδομένου ότι το 100 είναι μεγάλος αριθμός, ως εκ τούτου είναι χρονοβόρο για τον υπολογισμό από 1 έως 100 των πρωταρχικών αριθμών που είναι πρώτοι αριθμοί με 100. Ως εκ τούτου εφαρμόζουμε τον παρακάτω τύπο:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Παράδειγμα # 3

Υπολογισμός ϕ (240);

Τα πολλαπλάσια των 240 είναι 16 * 5 * 3, δηλαδή 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

εάν το n M δεν είναι πρωταρχικός αριθμός χρησιμοποιούμε n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Παράδειγμα # 4

Υπολογισμός ϕ (49);

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Εφαρμογές

Οι διάφορες εφαρμογές είναι οι εξής:

  • Η συνάρτηση χρησιμοποιείται για τον ορισμό του συστήματος κρυπτογράφησης RSA που χρησιμοποιείται για την κρυπτογράφηση ασφάλειας στο Διαδίκτυο.
  • Χρησιμοποιείται στη θεωρία πρώτων αριθμών.
  • Χρησιμοποιείται επίσης σε μεγάλους υπολογισμούς.
  • Χρησιμοποιείται σε εφαρμογές στοιχειώδους θεωρίας αριθμών.

συμπέρασμα

Η συνολική λειτουργία του Euler είναι χρήσιμη με πολλούς τρόπους. Χρησιμοποιείται στο σύστημα κρυπτογράφησης RSA, το οποίο χρησιμοποιείται για λόγους ασφαλείας. Η συνάρτηση ασχολείται με τη θεωρία του πρωταρχικού αριθμού και είναι χρήσιμη και στον υπολογισμό των μεγάλων υπολογισμών. Η συνάρτηση χρησιμοποιείται επίσης σε αλγεβρικούς υπολογισμούς και στοιχειώδεις αριθμούς. Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για να δηλώσει τη συνάρτηση είναι ϕ και ονομάζεται επίσης συνάρτηση phi. Η συνάρτηση συνίσταται σε πιο θεωρητική χρήση παρά πρακτική χρήση. Η πρακτική χρήση της λειτουργίας είναι περιορισμένη. Η συνάρτηση μπορεί να γίνει καλύτερα κατανοητή μέσω των διαφόρων πρακτικών παραδειγμάτων παρά μόνο θεωρητικών εξηγήσεων. Υπάρχουν διάφοροι κανόνες για τον υπολογισμό της συνάρτησης του Euler, και για διαφορετικούς αριθμούς, πρέπει να εφαρμόζονται διαφορετικοί κανόνες. Η λειτουργία παρουσιάστηκε για πρώτη φορά το 1763, αλλά λόγω ορισμένων ζητημάτων,πήρε την αναγνώριση το 1784 και το όνομα τροποποιήθηκε το 1879. Η συνάρτηση είναι μια καθολική συνάρτηση και μπορεί να εφαρμοστεί παντού.

ενδιαφέροντα άρθρα...