Ορισμός ανεξάρτητων εκδηλώσεων
Το ανεξάρτητο συμβάν είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται ευρέως στα στατιστικά στοιχεία, ο οποίος αναφέρεται στο σύνολο των δύο γεγονότων στα οποία η εμφάνιση ενός από τα γεγονότα δεν επηρεάζει την εμφάνιση ενός άλλου γεγονότος του συνόλου. Με άλλα λόγια, αυτά είναι τα γεγονότα που δεν παρέχουν πληροφορίες σχετικά με την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση άλλων συμβάντων.
Εξήγηση
Σε ένα συνηθισμένο σενάριο, η εμφάνιση ή η μη εμφάνιση ενός συγκεκριμένου συμβάντος μπορεί να παρέχει μια εικόνα για άλλα γεγονότα. Ωστόσο, το ίδιο δεν ισχύει για ανεξάρτητα γεγονότα, δεδομένου ότι η εμφάνιση ή η μη εμφάνιση ενός συμβάντος δεν πρόκειται να παράσχει καμία ιδέα ή πληροφορίες σχετικά με την ύπαρξη ενός άλλου γεγονότος. Έτσι, το αποτέλεσμα ενός από τα γεγονότα δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα ενός άλλου γεγονότος στο ίδιο σετ.
Παραδείγματα ανεξάρτητων εκδηλώσεων
Η ιδέα μπορεί να γίνει καλά κατανοητή με τη βοήθεια μερικών παραδειγμάτων -
- Παίρνουμε δύο νομίσματα και μετά τα πετάμε. Το γεγονός της εμφάνισης της ουράς ή της κεφαλής σε ένα νόμισμα δεν είναι καθοριστικό για την εμφάνιση της ουράς ή της κεφαλής σε άλλο νόμισμα. Έτσι, η ταυτόχρονη ρίψη δύο νομισμάτων ή η διπλή ρίψη του ίδιου νομίσματος μπορεί να ειπωθεί σε ανεξάρτητα γεγονότα. Ο λόγος είναι ότι η πιθανότητα κάθε αποτελέσματος (δηλαδή, κεφάλι ή ουρές) είναι 50% κάθε φορά και δεν εξαρτάται από το τελευταίο πέταγμα.
- Ομοίως, όταν παίρνουμε δύο ζάρια και τα ρίχνουμε, ο αριθμός που προκύπτει σε ένα ζάρι δεν αποφασίζει τον αριθμό που προκύπτει στο δεύτερο ζάρι. Ως αποτέλεσμα, το κύλισμα δύο ζαριών είναι ένα άλλο παράδειγμα.
Κανόνες
Υπάρχει πιθανός κανόνας πολλαπλασιασμού που μπορεί να δοκιμαστεί για να προσδιοριστεί αν τα δύο συμβάντα είναι ανεξάρτητα ή όχι.
Οι κανόνες πολλαπλασιασμού δηλώνουν ότι, εάν δύο συμβάντα είναι ανεξάρτητα, τότε:
P (A | B) = P (A)
Αυτή η μαθηματική χροιά υποδηλώνει ότι δύο συμβάντα, που ονομάζονται Α και Β, λέγεται ότι είναι ανεξάρτητα όταν η πιθανότητα του συμβάντος Α, δεδομένου ότι συμβαίνει το συμβάν Β, είναι ίση με την πιθανότητα του συμβάντος Α. Αυτό επειδή, στην περίπτωση ανεξάρτητων συμβάντων, η εμφάνιση ή η μη εμφάνιση ενός συμβάντος δεν αποφασίζει την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση ενός άλλου γεγονότος.
Ομοίως, ισχύει και η ακόλουθη έννοια.
P (B | A) = P (B)
Αυτό σημαίνει ότι εάν τα Α και Β είναι δύο ανεξάρτητα συμβάντα, η πιθανότητα του συμβάντος Β, δεδομένου ότι συμβαίνει το συμβάν Α, είναι ίση με την πιθανότητα του συμβάντος Β.
Επιπλέον, υπάρχει μια ακόμη παρατήρηση που ισχύει για τέτοια γεγονότα.
P (A και B) = P (A) * P (B)
Η παραπάνω εξίσωση υποδηλώνει ότι εάν τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα και των δύο συμβάντων να είναι ισοδύναμη με το προϊόν των μεμονωμένων πιθανοτήτων τους.
Ανεξάρτητα γεγονότα πιθανότητας
Στην ορολογία πιθανότητας, δύο γεγονότα μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα εάν το αποτέλεσμα ενός γεγονότος δεν είναι καθοριστικό για την πιθανότητα εμφάνισης ή μη εμφάνισης άλλου γεγονότος.
Ακολουθεί ο υπολογισμός της πιθανότητας για οποιοδήποτε συμβάν -
Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την πιθανότητα να πάρουμε 6 στα ζάρια όταν το ρίξουμε. Εδώ, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι έξι (αριθμοί 1,2,3,4,5 και 6), και ένας αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι ένα (αριθμός 6). Ως εκ τούτου, η πιθανότητα είναι 0,16.
Ανεξάρτητα και εξαρτώμενα γεγονότα
- Δύο γεγονότα λέγεται ότι είναι ανεξάρτητα όταν η πιθανότητα ενός γεγονότος δεν επηρεάζει την πιθανότητα ενός άλλου γεγονότος. Για παράδειγμα, η ταυτόχρονη ρίψη δύο νομισμάτων είναι ανεξάρτητα γεγονότα επειδή η πιθανότητα κεφαλής ή ουράς στο πρώτο νόμισμα δεν εξαρτάται ή αποφασίζει από την πιθανότητα κεφαλής ή ουράς σε άλλο νόμισμα.
- Από την άλλη πλευρά, δύο γεγονότα καλούνται εξαρτώμενα εάν το αποτέλεσμα ενός από τα γεγονότα μπορεί να αλλάξει την πιθανότητα ενός άλλου γεγονότος. Με απλά λόγια, όταν το αποτέλεσμα ενός γεγονότος μπορεί να επηρεάσει την εμφάνιση ενός άλλου γεγονότος, τα γεγονότα λέγεται ότι είναι εξαρτώμενα γεγονότα. Για παράδειγμα, σε μια τράπουλα 52 φύλλων, δύο κάρτες επιλέγονται τυχαία ένα προς ένα. Τώρα, εάν επιλεγεί το πρώτο φύλλο και δεν αντικατασταθεί, η πιθανότητα του δεύτερου φύλλου θα αλλάξει σίγουρα, αφού μετά την αφαίρεση του πρώτου φύλλου, μόνο 51 φύλλα θα παραμείνουν στη τράπουλα. Έχει ως αποτέλεσμα τα δύο γεγονότα να είναι εξαρτώμενα γεγονότα.
συμπέρασμα
Για να καταλήξει στο συμπέρασμα εάν τα γεγονότα εξαρτώνται ή όχι, πρέπει να αναλυθεί εάν η εμφάνιση ενός συμβάντος μπορεί να αλλάξει την πιθανότητα εμφάνισης του δεύτερου συμβάντος. Κάποιος μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα και των δύο γεγονότων και να εφαρμόσει κανόνες πολλαπλασιασμού για να δοκιμάσει το τεστ ανεξαρτησίας.
