Φόρμουλα δοκιμής Z στη Στατιστική - Υπολογισμός βήμα προς βήμα (Παραδείγματα)

Πίνακας περιεχομένων

Τύπος για τον υπολογισμό της δοκιμής Z στα στατιστικά

Τύπος για τον υπολογισμό της δοκιμής Z στα στατιστικά

Η δοκιμή Z στα στατιστικά στοιχεία αναφέρεται στη δοκιμασία υπόθεσης που χρησιμοποιείται για να προσδιοριστεί εάν τα δύο δείγματα μέσων που υπολογίστηκαν είναι διαφορετικά, σε περίπτωση που οι τυπικές αποκλίσεις είναι διαθέσιμες και το δείγμα είναι μεγάλο.

Z = (x - μ) / ơ

όπου x = οποιαδήποτε τιμή από τον πληθυσμό

μ = μέσος όρος πληθυσμού
standard = τυπική απόκλιση πληθυσμού

Στην περίπτωση ενός δείγματος, ο τύπος για τα στατιστικά στοιχεία της δοκιμής z υπολογίζεται αφαιρώντας τον μέσο όρο του δείγματος από την τιμή x. Στη συνέχεια, το αποτέλεσμα διαιρείται με την τυπική απόκλιση δείγματος. Μαθηματικά, αντιπροσωπεύεται ως,

Z = (x - x_mean ) / s

που

x = οποιαδήποτε τιμή από το δείγμα
x_mean = μέσος όρος δείγματος
s = τυπική απόκλιση δείγματος

Υπολογισμός δοκιμής Z (Βήμα προς βήμα)

Ο τύπος για στατιστικά στοιχεία δοκιμής z για έναν πληθυσμό προκύπτει ακολουθώντας τα ακόλουθα βήματα:

Βήμα 1: Πρώτον, υπολογίστε τον μέσο πληθυσμό και την τυπική απόκλιση πληθυσμού με βάση την παρατήρηση που καταγράφηκε στον μέσο όρο πληθυσμού και κάθε παρατήρηση υποδηλώνεται με x _i . Ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων στον πληθυσμό υποδηλώνεται από τον Ν.

Ο πληθυσμός σημαίνει,

Τυπική απόκλιση πληθυσμού,

Βήμα 2: Τέλος, τα στατιστικά στοιχεία της δοκιμής z υπολογίζονται αφαιρώντας τον μέσο όρο πληθυσμού από τη μεταβλητή και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα διαιρείται με την τυπική απόκλιση πληθυσμού, όπως φαίνεται παρακάτω.

Z = (x - μ) / ơ

Ο τύπος για στατιστικά στοιχεία δοκιμής z για ένα δείγμα προέρχεται από τα ακόλουθα βήματα:

Βήμα 1: Πρώτον, υπολογίστε τη μέση τιμή δείγματος και την τυπική απόκλιση δείγματος όπως παραπάνω. Εδώ, ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων στο δείγμα δηλώνεται με n έτσι ώστε n <N.

Μέσος δείγμα,

Τυπική απόκλιση δείγματος,

Βήμα 2: Τέλος, τα στατιστικά στοιχεία της δοκιμής z υπολογίζονται αφαιρώντας τη μέση τιμή δείγματος από την τιμή x και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα διαιρείται με την τυπική απόκλιση δείγματος, όπως φαίνεται παρακάτω.

Z = (x - x_mean ) / s

Παραδείγματα

Παράδειγμα # 1

Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός μαθητών σε ένα σχολείο που εμφανίστηκε για μια τάξη. Η μέση βαθμολογία στη δοκιμή είναι 75 και η τυπική απόκλιση είναι 15. Προσδιορίστε τη βαθμολογία z-test του David, ο οποίος σημείωσε 90 στη δοκιμή.

Δεδομένος,

Ο μέσος πληθυσμός, μ = 75
Τυπική απόκλιση πληθυσμού, ơ = 15

Επομένως, τα στατιστικά στοιχεία της δοκιμής z μπορούν να υπολογιστούν ως,

Ζ = (90 - 75) / 15

Τα στατιστικά στοιχεία δοκιμής Z θα είναι -

Ζ = 1

Επομένως, η βαθμολογία του David είναι μία τυπική απόκλιση πάνω από τη μέση βαθμολογία του πληθυσμού, δηλαδή, σύμφωνα με τον πίνακα βαθμολογίας z, το 84,13% των μαθητών έχει λιγότερη βαθμολογία από τον David.

Παράδειγμα # 2

Ας πάρουμε το παράδειγμα 30 μαθητών που επιλέχθηκαν ως μέρος μιας ομάδας δειγμάτων που θα ερωτηθούν για να δουν πόσα μολύβια χρησιμοποιούνταν σε μια εβδομάδα. Προσδιορίστε το σκορ z-test για τον ^3ο μαθητή βάσει των δοθέντων απαντήσεων: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

Δεδομένος,

x = 5, από την απάντηση του ^3ου μαθητή, είναι 5
Μέγεθος δείγματος, n = 30

Μέσος δείκτης, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30

Μέση τιμή = 4.17

Τώρα, η τυπική απόκλιση δείγματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο.

ơ = 1,90

Επομένως, η βαθμολογία z-test για τον ^3ο μαθητή μπορεί να υπολογιστεί ως,

Z = (x - x) / s

Ζ = (5 -17) / 1,90
Ζ = 0,44

Επομένως, η χρήση του ^3ου μαθητή είναι 0,44 φορές η τυπική απόκλιση πάνω από τη μέση χρήση του δείγματος, δηλαδή σύμφωνα με τον πίνακα βαθμολογίας, 67% οι μαθητές χρησιμοποιούν λιγότερα μολύβια από τον ^3ο μαθητή.

Παράδειγμα # 3

Παρακάτω δίνονται δεδομένα για τον υπολογισμό των Στατιστικών δοκιμών Z.

Μπορείτε να ανατρέξετε στο δεδομένο φύλλο excel παρακάτω για τον λεπτομερή υπολογισμό των Στατιστικών δοκιμών Z.

Συνάφεια και χρήσεις

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε την έννοια των στατιστικών δοκιμών z, επειδή χρησιμοποιείται συνήθως όποτε είναι αμφισβητήσιμο εάν ένα στατιστικό στοιχείο δοκιμής ακολουθεί μια κανονική κατανομή βάσει της σχετικής μηδενικής υπόθεσης. Ωστόσο, πρέπει να θυμάστε ότι η δοκιμή z χρησιμοποιείται μόνο όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο από 30. Διαφορετικά, χρησιμοποιείται η δοκιμή t.