Υπεργεωμετρική κατανομή (Ορισμός, τύπος) - Πώς να υπολογίσετε;

Ορισμός Υπεργομετρικής Κατανομής

Στα στατιστικά στοιχεία και στη θεωρία πιθανότητας, η υπεργεομετρική κατανομή είναι βασικά μια ξεχωριστή κατανομή πιθανότητας που καθορίζει την πιθανότητα επιτυχιών k (δηλ. Μερικές τυχαίες κληρώσεις για το αντικείμενο που έχει σχεδιαστεί και έχει συγκεκριμένο χαρακτηριστικό) σε αριθ. Κλήρωσης, χωρίς αντικατάσταση, από δεδομένο μέγεθος πληθυσμού N που περιλαμβάνει με ακρίβεια αντικείμενα K που έχουν αυτό το χαρακτηριστικό, όπου η κλήρωση μπορεί να πετύχει ή να αποτύχει.

Ο τύπος για την πιθανότητα υπεργεωμετρικής κατανομής προκύπτει χρησιμοποιώντας έναν αριθμό στοιχείων στον πληθυσμό, τον αριθμό των στοιχείων στο δείγμα, τον αριθμό των επιτυχιών στον πληθυσμό, τον αριθμό των επιτυχιών στο δείγμα και λίγους συνδυασμούς. Μαθηματικά, η πιθανότητα παρουσιάζεται ως,

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

που,

  • N = Αριθμός αντικειμένων στον πληθυσμό
  • n = Αριθμός αντικειμένων στο δείγμα
  • Κ = Αριθμός επιτυχιών στον πληθυσμό
  • k = Αριθμός επιτυχιών στο δείγμα

Η μέση και τυπική απόκλιση μιας υπεργγεωμετρικής κατανομής εκφράζεται ως

Μέση = n * K / N Τυπική απόκλιση = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2

Εξήγηση

Βήμα 1: Αρχικά, προσδιορίστε τον συνολικό αριθμό αντικειμένων στον πληθυσμό, ο οποίος δηλώνεται από τον Ν. Για παράδειγμα, ο αριθμός των παιγνιοχάρτων σε μια τράπουλα είναι 52.

Βήμα 2: Στη συνέχεια, προσδιορίστε τον αριθμό των αντικειμένων στο δείγμα, που υποδηλώνεται με n-για παράδειγμα, τον αριθμό των καρτών που τραβήχτηκαν από την τράπουλα.

Βήμα 3: Στη συνέχεια, καθορίστε τις περιπτώσεις που θα θεωρηθούν επιτυχίες στον πληθυσμό και υποδηλώνεται από τον Κ. Για παράδειγμα, ο αριθμός των καρδιών στο συνολικό κατάστρωμα, που είναι 13.

Βήμα 4: Στη συνέχεια, προσδιορίστε τις παρουσίες που θα θεωρηθούν επιτυχίες στο δείγμα που σχεδιάστηκε και επισημαίνεται με k. Π.χ. ο αριθμός των καρδιών στις κάρτες που τραβήχτηκαν από την τράπουλα.

Βήμα 5: Τέλος, ο τύπος πιθανότητας υπεργεωμετρικής κατανομής προκύπτει χρησιμοποιώντας έναν αριθμό στοιχείων στον πληθυσμό (βήμα 1), τον αριθμό των στοιχείων στο δείγμα (βήμα 2), τον αριθμό των επιτυχιών στον πληθυσμό (βήμα 3) και αριθμός επιτυχιών στο δείγμα (βήμα 4) όπως φαίνεται παρακάτω.

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

Παραδείγματα Υπεργεωμετρικής Κατανομής (με Πρότυπο Excel)

Παράδειγμα # 1

Ας πάρουμε το παράδειγμα μιας συνηθισμένης φόρμας τράπουλας όπου 6 φύλλα τραβιούνται τυχαία χωρίς αντικατάσταση. Προσδιορίστε την πιθανότητα να σχεδιάσετε ακριβώς 4 κόκκινες κάρτες σουίτες, δηλαδή, διαμάντια ή καρδιές.

  • Δεδομένου, N = 52 (δεδομένου ότι υπάρχουν 52 φύλλα σε μια συνηθισμένη τράπουλα παιχνιδιού)
  • n = 6 (Αριθμός καρτών που τραβήχτηκαν τυχαία από την τράπουλα)
  • K = 26 (αφού υπάρχουν 13 κόκκινες κάρτες η καθεμία σε διαμάντια και καρδιές)
  • k = 4 (Αριθμός κόκκινων καρτών που θεωρούνται επιτυχημένες στο δείγμα)

Λύση:

Επομένως, η πιθανότητα σχεδίασης ακριβώς 4 κόκκινων καρτών σουίτες στις 6 κάρτες μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο ως,

Πιθανότητα = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6

= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 C 6

= 14950 * 325/20358520

Η πιθανότητα θα είναι -

Πιθανότητα = 0,2387 ~ 23,87%

Επομένως, υπάρχει πιθανότητα 23,87% να τραβήξετε ακριβώς 4 κόκκινες κάρτες ενώ σχεδιάζετε 6 τυχαίες κάρτες από μια συνηθισμένη τράπουλα.

Παράδειγμα # 2

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα ενός πορτοφολιού που περιέχει 5 $ 100 λογαριασμούς και 7 $ 1 λογαριασμούς. Εάν επιλέγονται τυχαία 4 λογαριασμοί, τότε καθορίστε την πιθανότητα να επιλέξετε ακριβώς 3 $ 100 λογαριασμούς.

  • Δεδομένα, N = 12 (Αριθμός λογαριασμών 100 $ + Αριθμός λογαριασμών $ 1)
  • n = 4 (Αριθμός λογαριασμών που επιλέχθηκαν τυχαία)
  • K = 5 (αφού υπάρχουν 5 $ 100 λογαριασμοί)
  • k = 3 (Αριθμός λογαριασμών 100 $ που θεωρούνται επιτυχία στο επιλεγμένο δείγμα)

Λύση:

Επομένως, η πιθανότητα επιλογής ακριβώς 3 $ 100 λογαριασμών στους τυχαία επιλεγμένους 4 λογαριασμούς μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο ως,

Πιθανότητα = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4

= 5 C 3 * 7 C 1 / 12 C 4

= 10 * 7/495

Η πιθανότητα θα είναι -

Πιθανότητα = 0,1414 ~ 14,14%

Επομένως, υπάρχει πιθανότητα 14,14% να επιλέξετε ακριβώς 3 $ 100 λογαριασμούς ενώ σχεδιάζετε 4 τυχαίους λογαριασμούς.

Συνάφεια και χρήσεις

Η έννοια της υπεργεωμετρικής κατανομής είναι σημαντική επειδή παρέχει έναν ακριβή τρόπο προσδιορισμού των πιθανοτήτων όταν ο αριθμός των δοκιμών δεν είναι πολύ μεγάλος αριθμός και ότι τα δείγματα λαμβάνονται από έναν πεπερασμένο πληθυσμό χωρίς αντικατάσταση. Στην πραγματικότητα, η υπεργεωμετρική κατανομή είναι ανάλογη με τη διωνυμική κατανομή, η οποία χρησιμοποιείται όταν ο αριθμός των δοκιμών είναι ουσιαστικά μεγάλος. Ωστόσο, η υπεργομετρική κατανομή χρησιμοποιείται κυρίως για δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση.

ενδιαφέροντα άρθρα...