Τύπος κανονικής κατανομής
Η κανονική κατανομή είναι μια κατανομή που είναι συμμετρική, δηλαδή θετικές τιμές και οι αρνητικές τιμές της κατανομής μπορούν να χωριστούν σε ίσα μισά και συνεπώς, η μέση, η μέση και η κατάσταση θα είναι ίσες. Έχει δύο ουρές η μία είναι γνωστή ως η δεξιά ουρά και η άλλη είναι γνωστή ως η αριστερή ουρά.
Ο τύπος για τον υπολογισμό μπορεί να αναπαρασταθεί ως
Χ ~ Ν (μ, α)
Που
- N = όχι παρατηρήσεων
- μ = μέσος όρος των παρατηρήσεων
- α = τυπική απόκλιση
Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι παρατηρήσεις δεν αποκαλύπτουν πολλά στην αρχική τους μορφή. Είναι λοιπόν απαραίτητο να τυποποιηθούν οι παρατηρήσεις ώστε να είναι σε θέση να το συγκρίνουμε. Γίνεται με τη βοήθεια του τύπου z-score. Απαιτείται να υπολογιστεί η βαθμολογία Ζ για μια παρατήρηση.
Η εξίσωση για τον υπολογισμό βαθμολογίας Z για την κανονική κατανομή παρουσιάζεται ως εξής,
Z = (X- μ) / α
Που
- Z = βαθμολογία Z των παρατηρήσεων
- μ = μέσος όρος των παρατηρήσεων
- α = τυπική απόκλιση
Εξήγηση
Η κατανομή είναι φυσιολογική όταν ακολουθεί καμπύλη καμπάνας. Είναι γνωστή ως καμπύλη καμπάνας καθώς παίρνει το σχήμα του κουδουνιού. Ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά μιας κανονικής καμπύλης είναι, είναι συμμετρικό, που σημαίνει ότι οι θετικές και οι αρνητικές τιμές της κατανομής μπορούν να χωριστούν σε ίσα μισά. Ένα άλλο βασικό χαρακτηριστικό της μεταβλητής ύπαρξης είναι ότι οι παρατηρήσεις θα βρίσκονται εντός 1 τυπικής απόκλισης του μέσου 90% του χρόνου. Οι παρατηρήσεις θα είναι δύο τυπικές αποκλίσεις από το μέσο όρο 95% του χρόνου, και θα είναι εντός τριών τυπικών αποκλίσεων από το μέσο 99% του χρόνου.
Παραδείγματα
Παράδειγμα # 1
Ο μέσος όρος των βαρών μιας τάξης μαθητών είναι 65 κιλά και το πρότυπο του βάρους είναι 0,5 κιλά. Εάν υποθέσουμε ότι η κατανομή της επιστροφής είναι φυσιολογική, ας ερμηνεύσουμε για το βάρος των μαθητών στην τάξη .
Όταν μια κατανομή είναι φυσιολογική, τότε το 68% βρίσκεται σε 1 τυπική απόκλιση, το 95% βρίσκεται σε 2 τυπικές αποκλίσεις και το 99% βρίσκεται σε 3 τυπικές αποκλίσεις.
Δεδομένος,
- Η μέση απόδοση για το βάρος θα είναι 65 κιλά
- Η τυπική απόκλιση θα είναι 3,5 κιλά
Έτσι, το 68% του χρόνου, η τιμή της διανομής θα είναι στο εύρος όπως παρακάτω,
- Ανώτερο εύρος = 65 + 3,5 = 68,5
- Χαμηλότερο εύρος = 65-3.5 = 61.5
- Κάθε ουρά θα (68% / 2) = 34%
Παράδειγμα # 2
Ας συνεχίσουμε με το ίδιο παράδειγμα. Ο μέσος όρος των βαρών μιας τάξης μαθητών είναι 65 κιλά και το επίπεδο βάρους είναι 3,5 κιλά. Αν υποθέσουμε ότι η κατανομή της επιστροφής είναι φυσιολογική, ας την ερμηνεύσουμε για το βάρος των μαθητών στην τάξη.
Δεδομένος,
- Η μέση απόδοση για το βάρος θα είναι 65 κιλά
- Η τυπική απόκλιση θα είναι 3,5 κιλά
Έτσι, το 95% του χρόνου, η τιμή της διανομής θα είναι στο εύρος όπως παρακάτω,
- Ανώτερο εύρος = 65 + (3,5 * 2) = 72
- Χαμηλότερο εύρος = 65- (3,5 * 2) = 58
- Κάθε ουρά θα (95% / 2) = 47,5%
Παράδειγμα # 3
Ας συνεχίσουμε με το ίδιο παράδειγμα. Ο μέσος όρος των βαρών μιας τάξης μαθητών είναι 65 κιλά και το επίπεδο βάρους είναι 3,5 κιλά. Αν υποθέσουμε ότι η κατανομή της επιστροφής είναι φυσιολογική, ας την ερμηνεύσουμε για το βάρος των μαθητών στην τάξη.
Δεδομένος,
- Η μέση απόδοση για το βάρος θα είναι 65 κιλά
- Η τυπική απόκλιση θα είναι 3,5 κιλά
Έτσι, το 99% του χρόνου, η τιμή της διανομής θα είναι στην περιοχή όπως παρακάτω
- Ανώτερο εύρος = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
- Χαμηλότερο εύρος = 65- (3,5 * 3) = 54,5
- Κάθε ουρά θα (99% / 2) = 49,5%
Συνάφεια και χρήση
Η κανονική κατανομή είναι μια βασική στατιστική έννοια καθώς οι περισσότερες από τις τυχαίες μεταβλητές στα χρηματοοικονομικά ακολουθούν μια τέτοια καμπύλη. Παίζει σημαντικό ρόλο στην κατασκευή χαρτοφυλακίων. Εκτός από τη χρηματοδότηση, πολλές παραμέτρους της πραγματικής ζωής βρίσκονται μετά από μια τέτοια κατανομή. Όπως για παράδειγμα, αν προσπαθήσουμε να βρούμε το ύψος των μαθητών σε μια τάξη ή το βάρος των μαθητών σε μια τάξη, οι παρατηρήσεις κατανέμονται κανονικά. Ομοίως, οι βαθμολογίες μιας εξέτασης ακολουθούν επίσης την ίδια κατανομή. Βοηθάει στην ομαλοποίηση των βαθμολογιών σε μια εξέταση αν οι περισσότεροι μαθητές βαθμολογήσουν κάτω από τα βαθμολογικά σήματα, ορίζοντας ένα όριο λέγοντας μόνο εκείνους που απέτυχαν που σημείωσαν κάτω από δύο τυπικές αποκλίσεις
