Τύπος για τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής
Ο τύπος αναμενόμενης τιμής χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της μέσης μακροπρόθεσμης τιμής των διαθέσιμων τυχαίων μεταβλητών και σύμφωνα με τον τύπο η πιθανότητα όλων των τυχαίων τιμών πολλαπλασιάζεται με την αντίστοιχη πιθανή τυχαία τιμή και όλα τα προκύπτοντα προστίθενται μαζί για να προκύψουν αναμενόμενη αξία.
Μαθηματικά, η αναμενόμενη εξίσωση αξίας παρουσιάζεται όπως παρακάτω,
Αναμενόμενη τιμή = p 1 * a 1 + p 2 * a 2 +… + p n * a n = = Σ i n P i * a i
που
- p i = Πιθανότητα τυχαίας τιμής
- a i = Πιθανή τυχαία τιμή
Υπολογισμός αναμενόμενης αξίας (βήμα προς βήμα)
Ο υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής μιας σειράς τυχαίων τιμών, μπορούμε να αντλήσουμε χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα βήματα:
- Βήμα 1: Πρώτον, προσδιορίστε τις διαφορετικές πιθανές τιμές. Για παράδειγμα, διαφορετικές πιθανές αποδόσεις περιουσιακών στοιχείων μπορεί να είναι ένα καλό παράδειγμα τέτοιων τυχαίων τιμών. Οι πιθανές τιμές συμβολίζονται με ένα i .
- Βήμα 2: Στη συνέχεια, προσδιορίστε την πιθανότητα καθεμιάς από τις τιμές που αναφέρονται παραπάνω, που υποδηλώνονται με p i . Κάθε πιθανότητα μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός στην περιοχή από 0 έως 1 έτσι ώστε το σύνολο των πιθανοτήτων να είναι ίσο με ένα, δηλαδή 0 ≤ p 1 , p 2 ,…., P n ≤ 1 και p 1 + p 2 +… . + p n = 1.
- Βήμα 3: Τέλος, υπολογίζουμε την αναμενόμενη τιμή όλων των διαφορετικών πιθανών τιμών, ως το άθροισμα προϊόντος κάθε πιθανής τιμής και την αντίστοιχη πιθανότητα όπως παρακάτω,
Αναμενόμενη τιμή = p 1 * a 1 + p 2 * a 2 +… + p n * a n
Παραδείγματα
Παράδειγμα # 1
Ας πάρουμε ένα παράδειγμα του Ben, ο οποίος έχει επενδύσει σε δύο χρεόγραφα στο επενδυτικό του χαρτοφυλάκιο. Το πιθανό ποσοστό απόδοσης και των δύο αξιών (ασφάλεια P και Q) είναι όπως δίνεται παρακάτω. Με βάση τις δεδομένες πληροφορίες, βοηθήστε τον Μπεν να αποφασίσει ποια ασφάλεια αναμένεται να του δώσει υψηλότερες αποδόσεις.
Θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα δεδομένα για τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής.
Σε αυτήν την περίπτωση, η αναμενόμενη τιμή είναι η αναμενόμενη απόδοση κάθε ασφάλειας.
Αναμενόμενη επιστροφή ασφαλείας P
Η αναμενόμενη απόδοση της ασφάλειας P μπορεί να υπολογιστεί ως,
- Αναμενόμενη απόδοση (P) = p 1 (P) * a 1 (P) + p 2 (P) * a 2 (P) + p 3 (P) * a 3 (P)
- = 0,25 * (-5%) + 0,50 * 10% + 0,25 * 20%
Επομένως, ο υπολογισμός της Αναμενόμενης απόδοσης έχει ως εξής,
- Αναμενόμενη απόδοση = 8,75%
Αναμενόμενη επιστροφή ασφαλείας Q
Η αναμενόμενη απόδοση της ασφάλειας Q μπορεί να υπολογιστεί ως,
- Αναμενόμενη απόδοση (Q) = p 1 (Q) * a 1 (Q) + p 2 (Q) * a 2 (Q) + p 3 (Q) * a 3 (Q)
- = 0,35 * (-2%) + 0,35 * 12% + 0,30 * 18%
Επομένως, ο υπολογισμός της Αναμενόμενης απόδοσης έχει ως εξής,
- Αναμενόμενη απόδοση = 8,90%
Επομένως, για την ασφάλεια του Ben, το Q αναμένεται να δώσει υψηλότερες αποδόσεις από αυτό της ασφάλειας P.
Παράδειγμα # 2
Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα όπου ο Γιάννης πρόκειται να αξιολογήσει τη σκοπιμότητα δύο επερχόμενων αναπτυξιακών έργων (Project X και Y) και να επιλέξουμε το πιο ευνοϊκό. Σύμφωνα με εκτιμήσεις, το Project X αναμένεται να επιτύχει αξία 3,5 εκατομμυρίων δολαρίων με πιθανότητα 0,3 και να φτάσει σε τιμή 1,0 εκατομμυρίων δολαρίων με πιθανότητα 0,7. Από την άλλη πλευρά, το Project Y αναμένεται να επιτύχει αξία 2,5 εκατομμυρίων δολαρίων, με πιθανότητα 0,4 και να φτάσει σε τιμή 1,5 εκατομμυρίων δολαρίων, με πιθανότητα 0,6. Προσδιορίστε για τον John ποιο έργο αναμένεται να έχει μεγαλύτερη αξία κατά την ολοκλήρωση.
Θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα δεδομένα για τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής.
Αναμενόμενη αξία του Έργου X
Ο υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής του Έργου X μπορεί να γίνει ως εξής,
- Αναμενόμενη τιμή (X) = 0,3 * 3.500.000 $ + 0,7 * $ 1.000.000
Ο υπολογισμός της αναμενόμενης αξίας του Έργου X θα είναι -
- Αναμενόμενη τιμή (X) = 1.750.000 $
Αναμενόμενη αξία του έργου Y
Ο υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής του Έργου Υ μπορεί να γίνει ως εξής,
- Αναμενόμενη τιμή (Y) = 0,4 * 2,500,000 $ + 0,6 * $ 1,500,000
Ο υπολογισμός της αναμενόμενης αξίας του έργου Y θα είναι -
- Αναμενόμενη τιμή = 1.900.000 $
Επομένως, κατά την ολοκλήρωση του Έργου Υ αναμένεται να έχει υψηλότερη τιμή από αυτήν του Έργου X.
Συνάφεια και χρήση
Ένας αναλυτής πρέπει να κατανοήσει την έννοια της αναμενόμενης αξίας, καθώς χρησιμοποιείται από τους περισσότερους επενδυτές για να προβλέψει τη μακροπρόθεσμη απόδοση διαφορετικών χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων. Η αναμενόμενη αξία χρησιμοποιείται συνήθως για να δείξει την αναμενόμενη αξία μιας επένδυσης στο μέλλον. Με βάση τις πιθανότητες πιθανών σεναρίων, ο αναλυτής μπορεί να υπολογίσει την αναμενόμενη τιμή των πιθανών τιμών. Αν και η έννοια της αναμενόμενης τιμής χρησιμοποιείται συχνά σε διάφορα μοντέλα πολλαπλών παραλλαγών και ανάλυση σεναρίων, χρησιμοποιείται κυρίως στον υπολογισμό της αναμενόμενης απόδοσης.
