Τι είναι η καμπύλη απόδοσης εκκίνησης;
Το Bootstrapping είναι μια μέθοδος για την κατασκευή μιας καμπύλης απόδοσης μηδενικού κουπονιού. Τα ακόλουθα παραδείγματα εκκίνησης παρέχουν μια επισκόπηση του τρόπου κατασκευής μιας καμπύλης απόδοσης. Αν και δεν μπορεί να εξηγηθεί κάθε παραλλαγή, καθώς υπάρχουν πολλές μέθοδοι στο bootstrapping λόγω των διαφορών στις συμβάσεις που χρησιμοποιούνται.
Κορυφαία 3 παραδείγματα καμπύλης απόδοσης εκκίνησης στο Excel
Τα παρακάτω είναι παραδείγματα καμπύλης απόδοσης εκκίνησης στο Excel.
Παράδειγμα # 1
Εξετάστε διαφορετικά ομόλογα με ονομαστική αξία 100 $, με την απόδοση έως τη λήξη ίση με την τιμή του κουπονιού. Οι λεπτομέρειες του κουπονιού είναι οι εξής:
| Λήξη | 0,5 Έτος | 1 χρόνος | 1.5 Έτος | 2 Έτος |
| Απόδοση έως την ωριμότητα | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Λύση:
Τώρα, για μηδενικό κουπόνι με διάρκεια 6 μηνών, θα λάβει ένα ενιαίο κουπόνι ισοδύναμο με την απόδοση του ομολόγου. Ως εκ τούτου, το επιτόκιο spot για το εξάμηνο ομόλογο μηδενικού κουπονιού θα είναι 3%.
Για ένα ομόλογο 1 έτους, θα υπάρχουν δύο ταμειακές ροές, σε 6 μήνες και σε 1 έτος.
Η ταμειακή ροή σε 6 μήνες θα είναι (3,5% / 2 * 100 = 1,75 $) και η ταμειακή ροή σε 1 έτος θα είναι (100 + 1,75 = 101,75 $) δηλαδή η κύρια πληρωμή συν η πληρωμή του κουπονιού.
Από τη λήξη των 0,5 ετών το επιτόκιο spot ή το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 3% και ας υποθέσουμε ότι το προεξοφλητικό επιτόκιο για τη διάρκεια ενός έτους είναι x%, τότε
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1,0353
- 1 + x% / 2 = (1.0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1,0175
- x% = (1.0175-1) * 2
- x% = 3,504%
Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση, έχουμε x = 3,504%
Τώρα, και πάλι για διάρκεια 2 ετών,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2.955665025 + 2.897579405 + 2.805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8.658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91.3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91.3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1,127635858
- (1 + x / 2) = 1,127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1.030486293
- x = 1.030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Επίλυση για x που έχουμε, x = 6,097%
Ομοίως, για διάρκεια 1,5 ετών ομολόγων
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Επίλυση της παραπάνω εξίσωσης, έχουμε x = 4,526%
Έτσι, οι καμπύλες μηδενικής απόδοσης με εκκίνηση θα είναι:
| Λήξη | Μηδενικές τιμές |
| 0,5 Έτος | 3% |
| 1 χρόνος | 3,50% |
| 1.5 Έτος | 4,53% |
| 2 Έτος | 6,10% |
Παράδειγμα # 2
Ας εξετάσουμε ένα σύνολο ομολόγων μηδενικού κουπονιού ονομαστικής αξίας $ 100, με διάρκεια 6 μηνών, 9 μηνών και 1 έτους. Τα ομόλογα είναι μηδενικό κουπόνι, δηλαδή δεν πληρώνουν κανένα κουπόνι κατά τη διάρκεια της θητείας. Οι τιμές των ομολόγων έχουν ως εξής:
| Λήξη | Τιμή ($) | |
| Μήνες | 6 | 99 |
| Μήνες | 9 | 98.5 |
| Ετος | 1 | 97.35 |
Λύση:
Λαμβάνοντας υπόψη μια σύμβαση γραμμικού ρυθμού,
FV = Τιμή * (1+ r * t)Όπου r είναι η τιμή μηδενικού κουπονιού, t είναι η ώρα
Έτσι, για θητεία 6 μηνών:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
Για 9μηνη θητεία:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
Για 1ετή θητεία:
- 100 = 97.35 * (1 + R 12 * 6/12 )
- R 12 = (100 / 97.35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Ως εκ τούτου, τα ποσοστά απόδοσης μηδενικού κουπονιού με εκκίνηση θα είναι:
| Λήξη | Μηδέν κουπόνι (τιμές) |
| 6 μήνες | 2,02% |
| 9 μήνες | 2,03% |
| 1 χρόνος | 2,72% |
Σημειώστε ότι η διαφορά μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου παραδείγματος είναι ότι θεωρήσαμε ότι οι τιμές μηδενικών κουπονιών είναι γραμμικές στο παράδειγμα 2, ενώ συνθέτουν στο παράδειγμα 1.
Παράδειγμα # 3
Αν και αυτό δεν είναι ένα άμεσο παράδειγμα μιας καμπύλης απόδοσης εκκίνησης, μερικές φορές κάποιος πρέπει να βρει το ποσοστό μεταξύ δύο ωριμότητας. Εξετάστε την καμπύλη μηδενικού επιτοκίου για τις ακόλουθες λήξεις.
| Λήξη | Μηδέν κουπόνι (τιμές) |
| 6 | 2,50% |
| 1 χρόνος | 3,50% |
| 3 Έτος | 5% |
| 4 Έτος | 5,50% |
Τώρα, εάν κάποιος χρειάζεται το ποσοστό μηδενικού κουπονιού για διάρκεια 2 ετών, πρέπει να παρεμβάλλει γραμμικά τα μηδενικά ποσοστά μεταξύ 1 έτους και 3 ετών.
Λύση:
Υπολογισμός προεξοφλητικού μηδενικού κουπονιού για 2 χρόνια -
Μηδενικό κουπόνι για 2 έτη = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2- 1) / (3 - 1) = 3,5% + 0,75%
Ποσοστό μηδενικού κουπονιού για 2 χρόνια = 4,25%
Επομένως, το προεξοφλητικό επιτόκιο μηδενικού κουπονιού που θα χρησιμοποιηθεί για το διετές ομόλογο θα είναι 4,25%
συμπέρασμα
Τα παραδείγματα εκκίνησης δίνουν μια εικόνα για τον τρόπο υπολογισμού των μηδενικών επιτοκίων για την τιμολόγηση των ομολόγων και άλλων χρηματοοικονομικών προϊόντων. Κάποιος πρέπει να εξετάσει σωστά τις συμβάσεις αγοράς για τον σωστό υπολογισμό των μηδενικών τιμών.
