Τι είναι η διανομή Poisson;
Στα στατιστικά στοιχεία, η κατανομή Poisson αναφέρεται στη συνάρτηση διανομής που χρησιμοποιείται για την ανάλυση της διακύμανσης που προκύπτει έναντι της εμφάνισης του συγκεκριμένου συμβάντος κατά μέσο όρο σε καθένα από τα χρονικά πλαίσια, δηλαδή, χρησιμοποιώντας αυτό μπορεί να βρει την πιθανότητα ενός συμβάντος συγκεκριμένα ώρα συμβάντος και διακύμανση έναντι ενός μέσου αριθμού των συμβάντων.
Η εξίσωση διανομής Poisson δίνεται παρακάτω:
P (x; u) = (e -u ) * (u x ) / x!
Που
- u = μέσος αριθμός εμφανίσεων κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου
- P (x; u) = πιθανότητα x αριθμός εμφανίσεων κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου
- X = αριθμός περιστατικών για τις οποίες πρέπει να είναι γνωστή η πιθανότητα
Εξήγηση
Ο τύπος έχει ως εξής-
P (x; u) = (e -u). (U x) / x!
Που
- u = μέσος αριθμός εμφανίσεων κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου
- X = αριθμός περιστατικών για τις οποίες πρέπει να είναι γνωστή η πιθανότητα
- P (x; u) = πιθανότητα x αριθμός εμφανίσεων κατά τη χρονική περίοδο που δίνεται u είναι ένας μέσος αριθμός εμφανίσεων
- e = αριθμός Euler, που είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου, περίπου. η τιμή του e είναι 2,72
- Χ! = Είναι γνωστό ως x παραγοντικό. Το Factorial ενός αριθμού είναι προϊόν αυτού του ακέραιου και όλων των ακέραιων παρακάτω. Για παράδειγμα, π.χ. 4! = 4 * 3 * 2 * 1
Παραδείγματα
Παράδειγμα # 1
Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα ενός τύπου διανομής Poisson. Η μέση εμφάνιση ενός συμβάντος σε ένα δεδομένο χρονικό πλαίσιο είναι 10. Ποια θα ήταν η πιθανότητα εμφάνισης αυτού του συμβάντος για 15 φορές;
Σε αυτό το παράδειγμα, u = μέσος αριθμός εμφανίσεων συμβάντος = 10
Και x = 15
Επομένως, ο υπολογισμός μπορεί να γίνει ως εξής,
P (15; 10) = e (- 10) * 10 15/15!
Ρ (15, 10) = 0,0347 = 3,47%
Ως εκ τούτου, υπάρχει πιθανότητα 3,47% του συμβάντος να συμβεί 15 φορές.
Παράδειγμα # 2
Η χρήση της εξίσωσης διανομής Poisson μπορεί να φανεί ορατά για τη βελτίωση της παραγωγικότητας και της αποδοτικότητας λειτουργίας μιας εταιρείας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μάθετε αν είναι οικονομικά βιώσιμο να ανοίξετε ένα κατάστημα 24 ώρες την ημέρα.
Ας υποθέσουμε ότι η Walmart στις ΗΠΑ σχεδιάζει να ανοίξει το κατάστημά της 24 ώρες την ημέρα. Για να μάθετε τη βιωσιμότητα αυτής της επιλογής, αρχικά, η διοίκηση της Walmart θα ανακαλύψει τον μέσο αριθμό πωλήσεων μεταξύ 12 μεσάνυχτων και 8 π.μ. Τώρα θα υπολογίσει το συνολικό κόστος λειτουργίας του για τη βάρδια εργασίας από τις 12 π.μ. έως τις 8 μ.μ. Με βάση αυτό το λειτουργικό κόστος, η διοίκηση της Walmart γνωρίζει ότι ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μονάδων πωλήσεων που θα ξεπεράσουν. Στη συνέχεια, με τον τύπο διανομής Poisson, θα ανακαλύψει την πιθανότητα αυτού του αριθμού πωλήσεων και θα δει αν είναι βιώσιμο να ανοίξει το κατάστημα 24 ώρες την ημέρα ή όχι.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το μέσο κόστος λειτουργίας μιας ημέρας είναι 10.000 $ από τις 12 π.μ. έως τις 8 μ.μ. Οι μέσες πωλήσεις θα ήταν τότε 10.200 $. Για το breakakeven, κάθε μέρα οι πωλήσεις πρέπει να είναι 10.000 $. Τώρα θα ανακαλύψουμε την πιθανότητα πωλήσεων 10.000 $ ή χαμηλότερες σε μια μέρα, ώστε να επιτευχθεί το breakakeven
Επομένως, ο υπολογισμός μπορεί να γίνει ως εξής,
P (10.000.10200) = POISSON.DIST (10200.10000, ΑΛΗΘΕΙΑ)
Ρ (10.000.10200) = 97.7%
Ως εκ τούτου, υπάρχει πιθανότητα 97,7% για 10.000 $ ή λιγότερες πωλήσεις την ημέρα. Με τον ίδιο τρόπο, υπάρχει πιθανότητα 50,3% για 10.200 $ ή λιγότερο dell την ημέρα. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ 10.000 και 10.200 η πιθανότητα πωλήσεων είναι 47,4%. Ως εκ τούτου, υπάρχει μια καλή ευκαιρία για την εταιρεία να ξεπεράσει το ζυγό.
Παράδειγμα # 3
Μια άλλη χρήση του τύπου διανομής Poisson είναι στην Ασφαλιστική Βιομηχανία. Μια εταιρεία που ασχολείται με την ασφαλιστική επιχείρηση καθορίζει το ποσό ασφαλίστρου βάσει του αριθμού των απαιτήσεων και του ποσού που ζητείται ανά έτος. Έτσι, για να αξιολογηθεί το ποσό ασφαλίστρου της, η ασφαλιστική εταιρεία θα καθορίσει τον μέσο αριθμό ενός απαιτούμενου ποσού ανά έτος. Στη συνέχεια, βάσει αυτού του μέσου όρου, θα καθορίσει επίσης τον ελάχιστο και τον μέγιστο αριθμό αξιώσεων που μπορούν λογικά να υποβληθούν εντός του έτους. Με βάση τον μέγιστο αριθμό του ποσού της αξίωσης και το κόστος και το κέρδος από το ασφάλιστρο, η ασφαλιστική εταιρεία θα καθορίσει τι είδους εάν το ποσό του ασφαλίστρου θα είναι καλό για την εξισορρόπηση της επιχείρησής της.
Ας υποθέσουμε ότι ο μέσος αριθμός απαιτήσεων που διεκπεραιώνει μια ασφαλιστική εταιρεία ανά ημέρα είναι 5. Θα μάθει ποια είναι η πιθανότητα 10 απαιτήσεων ανά ημέρα.
Επομένως, ο υπολογισμός της διανομής Poisson μπορεί να γίνει ως εξής,
P (10; 5) = e (- 5). 5 10/10!
Ρ (10, 5) = 1,81%
Ως εκ τούτου, υπάρχει πολύ μικρή πιθανότητα η εταιρεία να έχει 10 αξιώσεις την ημέρα και μπορεί να κάνει το ασφάλισή της βάσει αυτών των δεδομένων.
Συνάφεια και χρήσεις
Η εξίσωση διανομής Poisson είναι πολύ χρήσιμη για την εύρεση ορισμένων συμβάντων με δεδομένο χρονικό πλαίσιο και γνωστό ρυθμό. Ακολουθούν μερικές από τις χρήσεις του τύπου:
- Στη βιομηχανία τηλεφωνικών κέντρων, για να μάθετε την πιθανότητα κλήσεων, οι οποίες θα διαρκέσουν περισσότερο από το συνηθισμένο χρόνο και με βάση αυτήν την εύρεση του μέσου χρόνου αναμονής για τους πελάτες.
- Για να μάθετε τον μέγιστο και τον ελάχιστο αριθμό πωλήσεων σε περίεργες ώρες και να μάθετε αν είναι εφικτό να ανοίξετε ένα κατάστημα εκείνη τη στιγμή.
- Για να μάθετε την πιθανότητα ορισμένων τροχαίων ατυχημάτων σε ένα χρονικό διάστημα.
- Για να μάθετε την πιθανότητα του μέγιστου αριθμού ασθενών που φθάνουν σε ένα χρονικό πλαίσιο,
- Ένας αριθμός μέγιστων και ελάχιστων και κλικ σε έναν ιστότοπο.
- Για να μάθετε τα πόδια των επισκεπτών σε ένα εμπορικό κέντρο, εστιατόριο κ.λπ.
- Για να μάθετε την πιθανότητα μέγιστου και ελάχιστου αριθμού ασφαλιστικής απαίτησης σε ένα χρόνο.
Διανομή Poisson στο Excel
Είναι πολύ εύκολο να μάθετε τη διανομή Poisson χρησιμοποιώντας το excel. Υπάρχει μια λειτουργία excel για να μάθετε την πιθανότητα ενός συμβάντος. Παρακάτω είναι η σύνταξη της συνάρτησης-
Που
- x = αριθμός εμφανίσεων για τις οποίες πρέπει να είναι γνωστή η πιθανότητα
- Μέσος = μέσος αριθμός εμφανίσεων κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου
- Αθροιστική = η τιμή του θα είναι Ψευδής εάν χρειαζόμαστε την ακριβή εμφάνιση ενός συμβάντος και True εάν ένας αριθμός τυχαίων συμβάντων θα είναι μεταξύ 0 και αυτού του συμβάντος.
Θα πάρουμε το ίδιο παράδειγμα 1 που έχουμε λάβει παραπάνω. Εδώ x = 15, mean = 10, και θα πρέπει να βρούμε την πιθανότητα ενός ακριβούς αριθμού συμβάντων. Έτσι, το τρίτο επιχείρημα θα είναι ψευδές.
Ως εκ τούτου P (15, 10) = POISSON.DIST (15,10, FALSE) = 0,0347 = 3,47%
Εδώ έχουμε την ακριβή τιμή χρησιμοποιώντας τον βασικό τύπο excel.
Ας υποθέσουμε στο παραπάνω παράδειγμα. πρέπει να ανακαλύψουμε την πιθανότητα εμφάνισης μεταξύ 0 και 15. τότε, στον τύπο αντί για ψευδές, θα χρησιμοποιήσουμε ΑΛΗΘΕΙΑ.
P (x <= 15) = POISSON.DIST (15,10, TRUE) = 95,1%
Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος μεταξύ 0 και 15 με 15 συμπεριλαμβανομένων είναι 95,1%.
