Τύπος για τον υπολογισμό της παλινδρόμησης
Ο τύπος παλινδρόμησης χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της σχέσης μεταξύ εξαρτώμενης και ανεξάρτητης μεταβλητής και για να μάθετε πώς επηρεάζει την εξαρτημένη μεταβλητή στην αλλαγή ανεξάρτητης μεταβλητής και αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση Υ είναι ίση με aX συν b όπου Y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, a είναι η κλίση της εξίσωσης παλινδρόμησης, το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και το b είναι σταθερό.
Η ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμοποίησε ευρέως στατιστικές μεθόδους για την εκτίμηση των σχέσεων μεταξύ μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών και εξαρτημένων μεταβλητών. Η παλινδρόμηση είναι ένα ισχυρό εργαλείο καθώς χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της ισχύος της σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών και, στη συνέχεια, θα χρησιμοποιηθεί για τη μοντελοποίηση της σχέσης μεταξύ αυτών των μεταβλητών στο μέλλον.
Y = a + bX + ∈
Που:
- Y - είναι η εξαρτημένη μεταβλητή
- X - είναι η ανεξάρτητη (επεξηγηματική) μεταβλητή
- a - είναι η τομή
- b - είναι η κλίση
- ∈ - και είναι το υπόλοιπο (σφάλμα)
Ο τύπος για την αναχαίτιση "a" και την κλίση "b" μπορεί να υπολογιστεί ανά παρακάτω.
a = (Σy) (Σx 2 ) - (Σx) (Σxy) / n (Σx 2 ) - (Σx) 2 b = n (Σxy) - (Σx) (Σy) / n (Σx 2 ) - (Σx) 2
Εξήγηση
Η ανάλυση παλινδρόμησης, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, χρησιμοποιείται κυρίως για την εξεύρεση εξισώσεων που θα ταιριάζουν στα δεδομένα. Η γραμμική ανάλυση είναι ένας τύπος ανάλυσης παλινδρόμησης. Η εξίσωση για μια γραμμή είναι y = a + bX. Το Y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή στον τύπο που προσπαθεί να προβλέψει ποια θα είναι η μελλοντική τιμή εάν το X, μια ανεξάρτητη μεταβλητή, αλλάξει κατά μια συγκεκριμένη τιμή. «A» στον τύπο είναι η αναχαίτιση που είναι αυτή η τιμή που θα παραμείνει σταθερή ανεξάρτητα από τις αλλαγές στην ανεξάρτητη μεταβλητή και ο όρος «b» στον τύπο είναι η κλίση που σημαίνει πόσο μεταβλητή είναι η εξαρτημένη μεταβλητή από ανεξάρτητη μεταβλητή.
Παραδείγματα
Παράδειγμα # 1
Εξετάστε τις ακόλουθες δύο μεταβλητές x και y, πρέπει να κάνετε τον υπολογισμό της παλινδρόμησης.
Λύση:
Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, μπορούμε να κάνουμε τον υπολογισμό της γραμμικής παλινδρόμησης στο Excel ως εξής.
Έχουμε όλες τις τιμές στον παραπάνω πίνακα με n = 5.
Τώρα, πρώτα, υπολογίστε την αναχαίτιση και την κλίση για την παλινδρόμηση.
Ο υπολογισμός του Intercept έχει ως εξής,
α = (628,33 * 88,017,46) - (519,89 * 106,206,14) / 5 * 88,017,46 - (519,89) 2
α = 0,52
Ο υπολογισμός της κλίσης έχει ως εξής,
b = (5 * 106,206,14) - (519,89 * 628,33) / (5 * 88,017,46) - (519,89) 2
b = 1,20
Ας εισάγουμε τώρα τις τιμές στον τύπο παλινδρόμησης για να πάμε παλινδρόμηση.
Εξ ου και η γραμμή παλινδρόμησης Y = 0,52 + 1,20 * X
Παράδειγμα # 2
Η κρατική τράπεζα της Ινδίας θέσπισε πρόσφατα μια νέα πολιτική σύνδεσης του επιτοκίου του λογαριασμού ταμιευτηρίου με το επιτόκιο Repo και ο ελεγκτής της κρατικής τράπεζας της Ινδίας θέλει να πραγματοποιήσει μια ανεξάρτητη ανάλυση σχετικά με τις αποφάσεις που έλαβε η τράπεζα σχετικά με τις αλλαγές στα επιτόκια, ανεξάρτητα από το εάν έχουν αλλάξει όποτε υπήρξαν αλλαγές στο ποσοστό Repo. Ακολουθεί η σύνοψη του επιτοκίου Repo και του επιτοκίου του λογαριασμού ταμιευτηρίου της Τράπεζας που επικράτησε τους εν λόγω μήνες δίνονται παρακάτω.
Ο ελεγκτής της κρατικής τράπεζας σας πλησίασε για να πραγματοποιήσετε μια ανάλυση και να παρουσιάσετε το ίδιο στην επόμενη συνάντηση. Χρησιμοποιήστε τον τύπο παλινδρόμησης και καθορίστε εάν το επιτόκιο της Τράπεζας άλλαξε καθώς και πότε άλλαξε το επιτόκιο Repo;
Λύση:
Χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, μπορούμε να κάνουμε τον υπολογισμό της γραμμικής παλινδρόμησης στο excel. Αντιμετώπιση του ποσοστού Repo ως ανεξάρτητης μεταβλητής, δηλαδή X, και αντιμετώπιση του επιτοκίου της Τράπεζας ως εξαρτημένης μεταβλητής ως Y.
Έχουμε όλες τις τιμές στον παραπάνω πίνακα με n = 6.
Τώρα, πρώτα, υπολογίστε την αναχαίτιση και την κλίση για την παλινδρόμηση.
Ο υπολογισμός του Intercept έχει ως εξής,
α = (24,17 * 237,69) - (37,75 * 152,06) / 6 * 237,69 - (37,75) 2
α = 4,28
Ο υπολογισμός της κλίσης έχει ως εξής,
b = (6 * 152,06) - (37,75 * 24,17) / 6 * 237,69 - (37,75) 2
b = -0.04
Ας εισάγουμε τώρα τις τιμές στον τύπο για να φτάσουμε στο σχήμα.
Εξ ου και η γραμμή παλινδρόμησης Y = 4,28 - 0,04 * X
Ανάλυση: Φαίνεται ότι η κρατική τράπεζα της Ινδίας ακολουθεί πράγματι τον κανόνα σύνδεσης του επιτοκίου αποταμίευσής της με το ποσοστό επαναγοράς, καθώς υπάρχει κάποια τιμή κλίσης που σηματοδοτεί μια σχέση μεταξύ του επιτοκίου repo και του επιτοκίου λογαριασμού αποταμίευσης της τράπεζας.
Παράδειγμα # 3
Το εργαστήριο ABC διεξάγει έρευνα σχετικά με το ύψος και το βάρος και ήθελε να μάθει αν υπάρχει σχέση όπως καθώς το ύψος αυξάνεται, το βάρος θα αυξηθεί. Έχουν συγκεντρώσει ένα δείγμα 1000 ατόμων για καθεμία από τις κατηγορίες και κατέληξαν σε ένα μέσο ύψος σε αυτήν την ομάδα.
Ακολουθούν οι λεπτομέρειες που έχουν συγκεντρώσει.
Πρέπει να κάνετε τον υπολογισμό της παλινδρόμησης και να καταλήξετε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει τέτοια σχέση.
Λύση:
Χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, μπορούμε να κάνουμε τον υπολογισμό της γραμμικής παλινδρόμησης στο excel. Αντιμετώπιση του ύψους ως ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλαδή, Χ, και αντιμετώπιση του βάρους ως εξαρτημένης μεταβλητής ως Υ
Έχουμε όλες τις τιμές στον παραπάνω πίνακα με n = 6
Τώρα, πρώτα, υπολογίστε την αναχαίτιση και την κλίση για την παλινδρόμηση.
Ο υπολογισμός του Intercept έχει ως εξής,
a = (350 * 120,834) - (850 * 49,553) / 6 * 120,834 - (850) 2
α = 68,63
Ο υπολογισμός της κλίσης έχει ως εξής,
b = (6 * 49,553) - (850 * 350) / 6 * 120,834 - (850) 2
b = -0.07
Ας εισάγουμε τώρα τις τιμές στον τύπο για να φτάσουμε στο σχήμα.
Εξ ου και η γραμμή παλινδρόμησης Y = 68,63 - 0,07 * X
Ανάλυση: Φαίνεται ότι υπάρχει μια πολύ πολύ μικρότερη σχέση μεταξύ ύψους και βάρους καθώς η κλίση είναι πολύ χαμηλή.
Συνάφεια και χρήσεις του τύπου παλινδρόμησης
Όταν ένας συντελεστής συσχέτισης απεικονίζει ότι τα δεδομένα μπορούν να προβλέψουν τα μελλοντικά αποτελέσματα και μαζί με αυτό, μια γραφική παράσταση διασποράς του ίδιου συνόλου δεδομένων φαίνεται να σχηματίζει μια γραμμική ή ευθεία γραμμή, τότε μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την απλή γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιώντας την καλύτερη προσαρμογή για να βρει ένα προγνωστική τιμή ή συνάρτηση πρόβλεψης. Η ανάλυση παλινδρόμησης έχει πολλές εφαρμογές στον τομέα των χρηματοοικονομικών καθώς χρησιμοποιείται στο CAPM που είναι το μοντέλο τιμολόγησης κεφαλαιουχικών στοιχείων ως μέθοδος χρηματοδότησης. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη εσόδων και εξόδων της εταιρείας.
